Ako vykresliť kvadratickú rovnicu: 10 krokov (s obrázkami)

2024 Autor: Robert Blare | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-02-02 02:08

Pri grafe kvadratické rovnice tvaru sekera² + bx + c alebo a (x - h)² + k poskytnite hladkú krivku v tvare U alebo opačnú krivku v tvare U nazývanú parabola. Vytvorenie grafu v kvadratickej rovnici je otázkou nájdenia jeho vrcholu, smeru a často aj x x y priesečníkov. V prípade relatívne jednoduchých kvadratických rovníc môže tiež stačiť zapojiť rozsah hodnôt x a nakresliť krivku na základe výsledných bodov. Začnite podľa kroku 1 nižšie.

Kroky

Krok 1. Určte, akú formu kvadratickej rovnice máte

Kvadratickú rovnicu možno napísať v troch rôznych formách: štandardná forma, vrcholová forma a kvadratická forma. Na grafovanie kvadratickej rovnice môžete použiť ktorýkoľvek formulár; postup pri vykresľovaní grafov je každý mierne odlišný. Ak robíte problém s domácou úlohou, zvyčajne dostanete problém v jednej z týchto dvoch foriem - inými slovami, nebudete si môcť vybrať, takže je najlepšie porozumieť obom. Dve formy kvadratickej rovnice sú:

• Štandardná forma.

  V tejto forme je kvadratická rovnica zapísaná ako: f (x) = ax² + bx + c kde a, b, a c sú skutočné čísla a a sa nerovná nule.

  Napríklad dve štandardné kvadratické rovnice sú f (x) = x² + 2x + 1 af (x) = 9x² + 10x -8.

• Vrcholová forma.

  V tejto forme je kvadratická rovnica zapísaná ako: f (x) = a (x - h)² + k, kde a, h a k sú skutočné čísla a a sa nerovná nule. Vrcholový tvar je pomenovaný tak, pretože h a k vám priamo dáva vrchol (centrálny bod) vašej paraboly v bode (h, k).

  Dve rovnicové formy vrcholu sú f (x) = 9 (x - 4)² + 18 a -3 (x - 5)² + 1

• Na zobrazenie grafu v jednom z týchto typov rovníc musíme najskôr nájsť vrchol paraboly, ktorý je stredovým bodom (h, k) na „špičke“krivky. Súradnice vrcholu v štandardnom tvare sú dané vzorcom: h = -b/2a a k = f (h), zatiaľ čo vo vrcholovom tvare sú h a k uvedené v rovnici.

Krok 2. Definujte svoje premenné

Aby bolo možné vyriešiť kvadratický problém, je spravidla potrebné definovať premenné a, b, ac (alebo a, h, k). Priemerný problém s algebrou vám poskytne kvadratickú rovnicu s vyplnenými premennými, zvyčajne v štandardnej forme, ale niekedy vo forme vrcholu.

• Napríklad pre štandardnú tvarovú rovnicu f (x) = 2x² + 16x + 39, máme a = 2, b = 16 a c = 39.
• Pre rovnicu vrcholového tvaru f (x) = 4 (x - 5)² + 12, máme a = 4, h = 5 a k = 12.

Krok 3. Vypočítajte h

Vo vrcholových rovniciach je vaša hodnota h už daná, ale v štandardných tvarových rovniciach sa musí vypočítať. Nezabudnite, že pre štandardné tvarové rovnice h = -b/2a.

• V našom štandardnom tvare príklad (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Riešením zistíme, že h = - 4.
• V našom vrcholovom tvare príklad (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vieme h = 5 bez akejkoľvek matematiky.

Krok 4. Vypočítajte k

Rovnako ako pre h, k je už známe v rovniciach vrcholového tvaru. Pri štandardných tvarových rovniciach pamätajte na to, že k = f (h). Inými slovami, k môžete nájsť tak, že nahradíte všetky inštancie x vo svojej rovnici hodnotou, ktorú ste práve našli pre h.

• V našom štandardnom príklade sme určili, že h = -4. Aby sme našli k, vyriešime našu rovnicu pomocou hodnoty pre h, ktorá nahradí x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Krok 7.

• V našom príklade vrcholovej formy opäť poznáme hodnotu k (čo je 12) bez toho, aby sme museli robiť matematiku.

Krok 5. Vykreslite svoj vrchol

Vrcholom vašej paraboly bude bod (h, k) - h určuje súradnicu x, zatiaľ čo k určuje súradnicu y. Vrchol je ústredným bodom vašej paraboly - buď úplná spodná časť písmena „U“, alebo samotný vrchol obráteného „písmena U“. Poznanie vrcholu je základnou súčasťou vykresľovania presnej paraboly - v školských prácach je často zadanie vrcholu povinnou súčasťou otázky.

• V našom štandardnom príklade bude náš vrchol na (-4, 7). Naša parabola teda dosiahne vrchol 4 medzery vľavo od 0 a 7 medzier nad (0, 0). Tento bod by sme mali vykresliť do nášho grafu, pričom určite označíme súradnice.
• V našom príklade vrcholovej formy je náš vrchol na (5, 12). Bod by sme mali vykresliť o 5 medzier vpravo a 12 medzier nad (0, 0).

Krok 6. Nakreslite os paraboly (voliteľné)

Osa symetrie paraboly je čiara prechádzajúca stredom, ktorá ju dokonale delí na polovicu. Na tejto osi bude ľavá strana paraboly zrkadliť pravú stranu. Pre kvadratiky tvaru sekera² + bx + c alebo a (x - h)² + k, os je priamka rovnobežná s osou y (inými slovami dokonale zvislá) a prechádzajúca vrcholom.

V prípade nášho štandardného príkladu je osou priamka rovnobežná s osou y a prechádzajúca bodom (-4, 7). Aj keď to nie je súčasťou samotnej paraboly, ľahké označenie tohto riadku v grafe vám nakoniec môže pomôcť vidieť, ako sa parabola symetricky kriví

Krok 7. Nájdite smer otvárania

Potom, čo sme zistili vrchol a os paraboly, musíme ďalej vedieť, či sa parabola otvára nahor alebo nadol. Našťastie je to ľahké. Ak je „a“kladné, parabola sa otvorí smerom nahor, zatiaľ čo ak je „a“záporná, parabola sa otvorí nadol (t.j. obráti sa hore nohami).

• Pre náš štandardný príklad (f (x) = 2x² + 16x + 39), vieme, že máme parabolu otvárajúcu sa nahor, pretože v našej rovnici a = 2 (kladné).
• Pre náš príklad vrcholového tvaru (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vieme, že máme aj parabolu otvárajúcu sa nahor, pretože a = 4 (kladné).

Krok 8. Ak je to potrebné, nájdite a zakreslite x interceptov

Pri školských úlohách vás často požiadajú, aby ste našli intercepcie x paraboly (čo sú jeden alebo dva body, kde sa parabola stretáva s osou x). Aj keď ich nenájdete, tieto dva body môžu byť neoceniteľné pri kreslení presnej paraboly. Nie všetky paraboly však majú intercepcie x. Ak má vaša parabola vrchol otvorený hore a má vrchol nad osou x alebo ak sa otvára smerom nadol a má vrchol pod osou x, nebude mať žiadne x interceptov. V opačnom prípade vyriešte svoje x zachytení jednou z nasledujúcich metód:

• Jednoducho nastavte f (x) = 0 a vyriešte rovnicu. Táto metóda môže fungovať pre jednoduché kvadratické rovnice, najmä vo vrcholovej forme, ale pre komplikovanejšie sa ukáže ako mimoriadne náročná. Príklad nájdete nižšie

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 a 13 sú zachytenia x paraboly.

• Faktor svojej rovnice. Niektoré rovnice v sekere² + bx + c formulár je možné jednoducho zapracovať do tvaru (dx + e) (fx + g), kde dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, a e × g = c. V tomto prípade sú vašimi x interceptami hodnoty pre x, ktoré tvoria jeden z výrazov v zátvorkách = 0. Napríklad:

  • X² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • V tomto prípade je váš jediný x -posun -1, pretože nastavením x na -1 sa jeden zo súčinených výrazov v zátvorkách rovná 0.

• Použite kvadratický vzorec. Ak neviete jednoducho vyriešiť svoje x interceptov alebo faktorizovať svoju rovnicu, použite špeciálnu rovnicu nazývanú kvadratický vzorec navrhnutú na tento účel. Ak ešte nie je, zadajte svoju rovnicu do tvaru osi² + bx + c, potom zapojte a, b, a c do vzorca x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Všimnite si toho, že to často dáva dve odpovede pre x, čo je v poriadku - to len znamená, že vaša parabola má dve x interceptov. Príklad nájdete nižšie:

  • -5x² + 1x + 10 sa zapojí do kvadratického vzorca takto:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) a (-15,18/-10). Zachytenia x paraboly je približne x = - 1.318 a 1.518
  • Náš predchádzajúci príklad štandardného formulára, 2x² + 16x + 39 sa zapojí do kvadratického vzorca takto:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Pretože nájsť druhú odmocninu záporného čísla je nemožné, vieme to žiadne x interceptov existujú pre túto konkrétnu parabolu.

Krok 9. Ak je to potrebné, nájdite a nakreslite zachytávací znak y

Aj keď často nie je potrebné nájsť rovnicu y (bod, v ktorom parabola prechádza osou y), môže sa vám to nakoniec vyžadovať, najmä ak ste v škole. Tento proces je pomerne jednoduchý - stačí nastaviť x = 0, potom vyriešiť svoju rovnicu pre f (x) alebo y, ktorá vám poskytne hodnotu y, pri ktorej parabola prechádza osou y. Na rozdiel od x interceptov môže štandardný parabola mať iba jeden y -intercept. Poznámka - pri štandardných tvarových rovniciach je úsek osi y pri y = c.

• Napríklad poznáme našu kvadratickú rovnicu 2x² + 16x + 39 má priesečník y pri y = 39, ale možno ho nájsť aj takto:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Intercept y paraboly je na y = 39.

    Ako bolo uvedené vyššie, zachytenie y je na y = c.

• Naša rovnica vrcholového tvaru 4 (x - 5)² + 12 má intercept y, ktorý možno nájsť nasledovne:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Zachytenie paraboly y je na y = 112.

Krok 10. Ak je to potrebné, nakreslite ďalšie body a potom nakreslite graf

Teraz by ste pre svoju rovnicu mali mať vrchol, smer, intercept (y) x a prípadne aj y. V tomto mieste sa môžete buď pokúsiť nakresliť svoju parabolu pomocou bodov, ktoré máte ako vodítko, alebo môžete nájsť viac bodov na „vyplnenie“svojej paraboly tak, aby nakreslená krivka bola presnejšia. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je jednoducho vložiť niekoľko hodnôt x na obidve strany vrcholu a potom tieto body vykresliť pomocou hodnôt y, ktoré získate. Učitelia často vyžadujú, aby ste pred nakreslením paraboly získali určitý počet bodov.

• Zopakujme si rovnicu x² + 2x + 1. Už vieme, že jeho jediný x priesečník je na x = -1. Pretože sa dotýka interceptu x iba v jednom bode, môžeme usúdiť, že jeho vrchol je jeho x intercept, čo znamená, že jeho vrchol je (-1, 0). V skutočnosti máme iba jeden bod pre túto parabolu - nie dosť na to, aby sme nakreslili dobrú parabolu. Nájdeme niekoľko ďalších, aby sme zaistili, že nakreslíme presný graf.

  • Nájdeme hodnoty y pre nasledujúce hodnoty x: 0, 1, -2 a -3.
  • Pre 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Náš bod je (0, 1).

  • Pre 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Náš bod je (1, 4).

  • Pre -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Náš bod je (-2, 1).

  • Pre -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Náš bod je (-3, 4).

  • Vložte tieto body do grafu a nakreslite svoju krivku v tvare U. Všimnite si toho, že parabola je dokonale symetrická - keď vaše body na jednej strane paraboly ležia na celých číslach, zvyčajne si môžete ušetriť prácu jednoduchým odrazom daného bodu cez os symetrie paraboly a nájsť zodpovedajúci bod na druhej strane. paraboly.

Video - Používaním tejto služby môžu byť niektoré informácie zdieľané so službou YouTube

Tipy

• Všimnite si, že v f (x) = ax² + bx + c, ak sa b alebo c rovná nule, tieto čísla zmiznú. Napríklad 12x² + 0x + 6 sa zmení na 12x² + 6, pretože 0x je 0.
• Zaokrúhľujte čísla alebo používajte zlomky, ako vám to povie váš učiteľ algebry. Pomôže vám to správne vykresliť kvadratické rovnice.